Thể tích hình lăng trụ là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình toán hình học. Dù đáy là tam giác, hình chữ nhật, hình thang hay lục giác, tất cả đều tuân theo một nguyên tắc chung: $V = S \cdot h$, trong đó $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao lăng trụ.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tổng hợp 7 công thức tính thể tích hình lăng trụ thường gặp nhất, kèm theo giải thích từng đại lượng để bạn dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào bài tập.
1. Các công thức thể tích hình lăng trụ
Công thức tổng quát: $V = S \cdot h$
Trong đó:
- $S$ = diện tích đáy
- $h$ = chiều cao lăng trụ
Theo từng loại đáy:
1. Lăng trụ đáy tam giác
$V = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \cdot h$
2. Lăng trụ đáy hình chữ nhật (hộp chữ nhật)
$V = a \cdot b \cdot h$
3. Lăng trụ đáy hình vuông
$V = a^2 \cdot h$
4. Lăng trụ đáy hình thang
$V = \frac{(a + b)}{2} \cdot h_{\text{đáy}} \cdot h$
5. Lăng trụ đáy hình bình hành
$V = a \cdot h_{\text{đáy}} \cdot h$
6. Lăng trụ đều đáy tam giác đều (cạnh $a$)
$V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h$
7. Lăng trụ đều đáy lục giác đều (cạnh $a$)
$V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h$
2. Bài tập
CÂU 1: Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ đáy là tam giác vuông cân tại $B$ , $AC = a\sqrt{2}$ , biết góc giữa $(A’BC)$ và đáy bằng $60°$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ.
A. $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .
B. $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ .
C. $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ .
D. $V = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}$ .
Lời Giải
Chọn A
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ , $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AB = BC = a$ .
$S_{\Delta ABC} = \frac{a^2}{2}$ .
Góc giữa $(A’BC)$ và đáy là góc $A’BA = 60°$ .
$A’A = AB.\tan 60° = a\sqrt{3}$ .
$V_{ABC.A’B’C’} = S_{\Delta ABC}.A’A = \frac{a^2}{2}.a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .
CÂU 2: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác cân $ABC$ với $AB = AC = 2x$, $BAC = 120°$, mặt phẳng $(AB’C’)$ tạo với đáy một góc $30°$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V = \frac{4x^3}{3}$ .
B. $V = x^3$ .
C. $V = \frac{3x^3}{16}$ .
D. $V = \frac{9x^3}{8}$ .
Lời Giải
Chọn B
Gọi $I$ là trung điểm $B’C’$.
Ta có $\left((AB’C’),(A’B’C’)\right) = AIA’ = 30°$, $A’I = A’B’.\tan 60° = x$, $AA’ = A’I.\tan 30° = \frac{x}{\sqrt{3}}$ .
$V_{ABC.A’B’C’} = \frac{x}{\sqrt{3}}.\frac{1}{2}.2x.2x.\sin 120° = x^3$ .
CÂU 3: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AB = 1$, $AC = 2$, $BAC = 120°$. Giả sử $D$ là trung điểm của cạnh $CC’$ và $BDA’ = 90°$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng
A. $2\sqrt{15}$ .
B. $\sqrt{15}$ .
C. $\frac{\sqrt{15}}{2}$ .
D. $3\sqrt{15}$ .
Lời Giải
Chọn B.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2AB.AC.\cos BAC = 7 \Rightarrow BC = \sqrt{7}$ .
Đặt $AA’ = h \Rightarrow BD^2 = \frac{h^2}{4} + 7, A’B^2 = h^2 + 1, A’D^2 = \frac{h^2}{4} + 4$ .
Do tam giác $BDA’$ vuông tại $D$ nên $A’B^2 = BD^2 + A’D^2 \Rightarrow h = 2\sqrt{5}$ .
Suy ra $V = \sqrt{15}$ .
CÂU 4: Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , góc giữa mặt phẳng $(D’AB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30°$. Thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bằng
A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{18}$ .
B. $a^3\sqrt{3}$ .
C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ .
D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{9}$ .
LỜI GIẢI
Chọn B
Ta có $(ADD’A’) \perp (AB)$ nên góc giữa mặt phẳng $(D’AB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $AD’$ và $AA’$ hay $A’AD’ = 30°$.
Suy ra $AA’ = \frac{A’D’}{\tan 30°} = a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích hộp $V_{ABCD.A’B’C’D’} = a^3\sqrt{3}$ .
CÂU 5: Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AB = a$, $BC = a\sqrt{3}$, $AC = 2a$ và góc giữa $CB’$ và $(ABC)$ bằng $60°$. Mặt phẳng $(P)$ qua trọng tâm tứ diện $CA’B’C’$, song song với mặt đáy lăng trụ và cắt các cạnh $AA’$, $BB’$, $CC’$ lần lượt tại $E$, $F$, $Q$. Tỉ số thể tích của khối tứ diện $CEFQ$ và khối lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất?
A. $0,07$ .
B. $0,06$ .
C. $0,25$ .
D. $0,09$ .
Lời Giải
Chọn C
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $A’B’$, $CC’$; $G$ là trung điểm $MN$. Suy ra $G$ là trọng tâm tứ diện $CA’B’C’$.
$(P)$ qua $G$ và cắt các cạnh $AA’$, $BB’$, $CC’$ lần lượt tại $E$, $F$, $Q$ thì $AE = BF = CQ = \frac{3}{4}AA’$ .
Thể tích khối lăng trụ là $V = AA’.S_{ABC}$ .
Thể tích tứ diện $CEFQ$ là:
$\begin{array}{l} {V_{CEFQ}} = \frac{1}{3}CQ.{S_{EFQ}}\\ = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}AA’.{S_{ABC}}\\ = \frac{1}{4}V\\ \Rightarrow \frac{{{V_{CEFQ}}}}{V} = \frac{1}{4} = 0,25. \end{array}$
VÍ DỤ 6: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB = BC = a$ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $(ACC’)$ và $(AB’C’)$ bằng $60°$. Tính thể tích khối chóp $B’.ACC’A’$ .
A. $\frac{a^3}{3}$ .
B. $\frac{a^3}{6}$ .
C. $\frac{a^3}{2}$ .
D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$ .
Lời giải
Chọn A
Gọi $M$ là trung điểm của $A’C’$. Do tam giác $A’B’C’$ vuông cân tại $B’$ nên $B’M \perp A’C’ \Rightarrow MB’ \perp (AA’C’C)$. Thể tích khối chóp $B’.ACC’A’$ là $V_{B’.AA’C’C} = \frac{1}{3}B’M.AA’.AC$ .
Ta có $B’M = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $AC = a\sqrt{2}$. Do $MB’ \perp (AA’C’C) \Rightarrow MB’ \perp AC’$. Kẻ $MK \perp AC’ \Rightarrow B’K \perp AC’$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ACC’)$ và $(AB’C’)$ là $MKB’ \Rightarrow MKB’ = 60°$ .
Trong tam giác vuông $MKB’$ ta có $\tan 60° = \frac{MB’}{MK} \Rightarrow MK = \frac{MB’}{\tan 60°} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$ .
Trong tam giác vuông $MKC’$ ta có $\tan MC’K = \frac{MK}{KC’} = \frac{MK}{\sqrt{MC’^2 – MK^2}} = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\sqrt{\frac{2a^2}{4} – \frac{6a^2}{36}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Mặt khác trong tam giác vuông $AA’C$ ta có $AA’ = A’C’.\tan MC’K = \frac{\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2} = a$ .
Vậy $V_{B’.AA’C’C} = \frac{1}{3}B’M.AA’.AC = \frac{1}{3}.a.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2} = \frac{a^3}{3}$ .
VÍ DỤ 7. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác cân với $AB = AC = a$, $BAC = 120°$, mặt phẳng $(A’B’C’)$ tạo với đáy một góc $60°$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V = \frac{3a^3}{8}$ .
B. $V = \frac{9a^3}{8}$ .
C. $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$ .
D. $V = \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}$ .
Lời giải
Chọn C
Gọi $M$, $I$, $I’$ lần lượt là trung điểm của $A’C’$, $BC$, $B’C’$.
$D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$, $D’$ là điểm đối xứng với $A’$ qua $I’$.
Khi đó mặt phẳng $(A’BC’) \equiv (A’BDC’)$.
$\Rightarrow$ góc giữa mặt phẳng $A’BC’$ với đáy là góc giữa mặt phẳng $(A’BDC’)$ với đáy.
Ta có tứ giác $A’B’D’C’$ là hình thoi
Vì $B’A’C’ = 120°$ nên tam giác $A’C’D’$ là tam giác đều cạnh bằng $a \Rightarrow D’M \perp A’C’$.
Mà $A’C’ \perp DD’$
Nên $A’C’ \perp DM$
Vậy góc giữa mặt phẳng $(A’BDC’)$ với đáy là góc $DMD’ = 60°$
Xét tam giác $A’C’D’$, có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} D’M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = C’I’\\ A’I’ = \frac{a}{2} \end{array} \end{array}} \right. \Rightarrow C’B’ = a\sqrt 3 $
Xét tam giác $MDD’$ vuông tại $D’$ có $DMD’ = 60° \Rightarrow \triangle DMD’$ là nửa tam giác đều có đường cao $DD’$
$\Rightarrow DD’ = D’M.\sqrt{3} = \frac{3a}{2}$ .
$S_{\triangle A’B’C’} = \frac{1}{2}A’I’.B’C’ = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
$V_{ABC.A’B’C’} = \frac{1}{3}S_{\triangle A’B’C’}.DD’ = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$ .