Viết phương trình mặt cầu là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi. Dạng toán này yêu cầu học sinh nắm vững phương trình chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ cũng như các công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng trong không gian $Oxyz$.
I. Lý thuyết cơ bản
Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$:
$$(S): (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$
Dạng khai triển:
$$(S): x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0 \quad (a^2+b^2+c^2-d>0)$$
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Cho tâm $I$ và bán kính $R$
Cách làm: Thay thẳng vào công thức.
Dạng 2: Cho tâm $I$, mặt cầu cắt đường thẳng $\Delta$ tại $A$, $B$
Công thức: $R=\sqrt{d(I,\Delta)^2+\frac{AB^2}{4}}$
Dạng 3: Cho tâm $I$, mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng $(\alpha)$
- Tiếp xúc: $R=d(I,(\alpha))$
- Cắt theo đường tròn bán kính $r$: $R=\sqrt{d(I,(\alpha))^2+r^2}$
Dạng 4: Tâm $I$ thuộc đường thẳng $d$, thỏa điều kiện cho trước
Cách làm: Đặt $I(t)$ theo tham số của $d$, lập phương trình tìm $t$.
Dạng 5: Mặt cầu qua nhiều điểm, tâm thuộc mặt phẳng/đường thẳng
Cách làm: Dùng $IA=IB=IC=…=R$ lập hệ phương trình tìm tâm $I$.
III. Công thức
$$d(I,(\alpha))=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
$$d(I,\Delta)=\frac{\left|\left[\vec{u},\overrightarrow{IM}\right]\right|}{|\vec{u}|}$$
trong đó $\vec{u}$ là vecto chỉ phương của $\Delta$, $M$ là điểm bất kỳ thuộc $\Delta$.
IV. Bài tập
Bài toán 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;1;2)$, $B(1;1;-1)$, $C(-1;0;1)$. Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ và có tâm nằm trên $mp(Oxz)$ là
A. $x^2+y^2+z^2-\frac{3}{2}x-z-\frac{5}{2}=0$. $\quad$
B. $x^2+y^2+z^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}z+\frac{5}{2}=0$.
C. $x^2+y^2+z^2-\frac{3}{2}x+z-\frac{5}{2}=0$. $\quad$
D. $x^2+y^2+z^2-\frac{3}{2}y-z-\frac{5}{2}=0$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi phương trình mặt cầu dạng: $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, $a^2+b^2+c^2-d>0$.
Mặt cầu có tâm $I(a;b;c)\in mp(Oxz)\Rightarrow b=0$ $\quad(1)$.
Mặt cầu qua 3 điểm $A(1;1;2)$, $B(1;1;-1)$, $C(-1;0;1)$, suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 6 – 2a – 2b – 4c + d = 0\\ 3 – 2a – 2b + 2c + d = 0\\ 2 + 2a – 2c + d = 0 \end{array} \end{array}} \right.(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta tìm được: $a=\frac{3}{4}$, $b=0$, $c=\frac{1}{2}$, $d=-\frac{5}{2}$.
Vậy PTMC là: $x^2+y^2+z^2-\frac{3}{2}x-z-\frac{5}{2}=0$.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu $(S)$ biết:
a) $(S)$ qua bốn điểm $A(1;2;-4)$, $B(1;-3;1)$, $C(2;2;3)$, $D(1;0;4)$.
b) $(S)$ qua $A(0;8;0)$, $B(4;6;2)$, $C(0;12;4)$ và có tâm $I$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.
Lời giải
a) Cách 1: Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu $(S)$ cần tìm.
Theo giả thiết: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC\\ IA = ID \end{array} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} I{A^2} = I{B^2}\\ I{A^2} = I{C^2}\\ I{A^2} = I{D^2} \end{array} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} – y + z = – 1\\ x + 7z = – 2\\ y – 4z = 1 \end{array} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = – 2\\ y = 1\\ z = 0 \end{array} \end{array}} \right.$
Do đó: $I(-2;1;0)$ và $R=IA=\sqrt{26}$. Vậy $(S):\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=26$.
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, $\left(a^2+b^2+c^2-d>0\right)$.
Do $A(1;2;-4)\in(S)\Leftrightarrow$ $-2a-4b+8c+d=-21$ $\quad(1)$
Tương tự: $B(1;-3;1)\in(S)\Leftrightarrow -2a+6b-2c+d=-11\quad(2)$
$C(2;2;3)\in(S)\Leftrightarrow -4a-4b-6c+d=-17\quad(3)$
$D(1;0;4)\in(S)\Leftrightarrow -2a-8c+d=-17\quad(4)$
Giải hệ $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ ta có $a$, $b$, $c$, $d$, suy ra phương trình mặt cầu $(S)$:
$\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=26$.
b) Do tâm $I$ của mặt cầu nằm trên mặt phẳng $(Oyz)\Rightarrow I(0;b;c)$.
Ta có: $IA = IB = IC$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} I{A^2} = I{B^2}\\ I{A^2} = I{C^2} \end{array} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} b = 7\\ c = 5 \end{array} \end{array}} \right.$
Vậy $I(0;7;5)$ và $R=\sqrt{26}$. Vậy $(S): x^2+\left(y-7\right)^2+\left(z-5\right)^2=26$.
Bài toán 3: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): $x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 4y – 4z = 0$ và điểm $A(4;4;0)$. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm $B$ thuộc (S) và tam giác $OAB$ đều.
Lời giải
(S) có tâm $I(2;2;2)$, bán kính $R = 2\sqrt{3}$. Nhận xét: điểm $O$ và $A$ cùng thuộc (S).
Tam giác $OAB$ đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R’ = \frac{OA}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Khoảng cách: $d(I;(P)) = \sqrt{R^2 – (R’)^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Mặt phẳng (P) đi qua $O$ có phương trình dạng: $ax + by + cz = 0$ $\left(a^2 + b^2 + c^2 > 0\right)$ (*)
Do (P) đi qua $A$, suy ra: $4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b = -a$.
Lúc đó: $d(I;(P)) = \frac{{|2(a + b + c)|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $ = \frac{{|2c|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }}$ $ \Rightarrow \frac{{|2c|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $ \Rightarrow 2{a^2} + {c^2} = 3{c^2}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} c = a\;\\ c = – 1 \end{array} \end{array}} \right.$
Theo (*), suy ra $(P): x – y + z = 0$ hoặc $x – y – z = 0$.
Bài toán 4: Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;3;-1)$ và cắt đường thẳng $\Delta:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm $A$, $B$ với $AB=16$.
Lời giải
Chọn $M(-1;1;0)\in\Delta\Rightarrow\overrightarrow{IM}=(-3;-2;1)$.
Đường thẳng $\Delta$ có một vecto chỉ phương là $\vec{u}_\Delta=(1;-4;1)$.
Ta có: $\left[\overrightarrow{IM},\vec{u}\Delta\right]=(2;4;14)\Rightarrow d(I,\Delta)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM},\vec{u}\Delta\right]\right|}{|\vec{u}_\Delta|}=2\sqrt{3}$.
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu $(S)$. Theo giả thiết: $R=\sqrt{\left[d(I,\Delta)\right]^2+\frac{AB^2}{4}}=2\sqrt{19}$.
Vậy $(S):\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+1\right)^2=76$.
Bài toán 5: Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = t\\ y = – 1\\ z = – t \end{array} \end{array}} \right.$ và $(S)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(\alpha): x+2y+2z+3=0$ và $(\beta): x+2y+2z+7=0$.
Lời giải
Gọi $I(t;-1;-t)\in\Delta$ là tâm mặt cầu $(S)$ cần tìm.
Theo giả thiết: $d\left( {I,(\alpha )} \right) = d\left( {I,(\beta )} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{|1 – t|}}{3} = \frac{{|5 – t|}}{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 1 – t = 5 – t\\ 1 – t = – (5 – t) \end{array} \end{array}} \right. \Rightarrow t = 3$
Suy ra: $I(3;-1;-3)$ và $R=d\left(I,(\alpha)\right)=\frac{2}{3}$. Vậy $(S):\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+3\right)^2=\frac{4}{9}$.
Bài toán 6: Lập phương trình mặt cầu $(S)$ qua 2 điểm $A(2;6;0)$, $B(4;0;8)$ và có tâm thuộc $d$: $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{1}$.
Lời giải
Ta có: $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = 1 – t\\ y = 2t\\ z = – 5 + t \end{array} \end{array}} \right.$
Gọi $I(1-t;2t;-5+t)\in d$ là tâm của mặt cầu $(S)$ cần tìm.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=(1+t;6-2t;5-t)$, $\overrightarrow{IB}=(3+t;-2t;13-t)$.
Theo giả thiết, do $(S)$ đi qua $A$, $B\Leftrightarrow AI=BI$
$\Leftrightarrow\sqrt{(1+t)^2+(6-2t)^2+(5-t)^2}=\sqrt{(3+t)^2+4t^2+(13-t)^2}$
$\Leftrightarrow 62-32t=178-20t\Leftrightarrow 12t=-116\Leftrightarrow t=-\frac{29}{3}$
$ \Rightarrow I\left( {\frac{{32}}{3}; – \frac{{58}}{3}; – \frac{{44}}{3}} \right)$ và $R=IA=2\sqrt{233}$.
Vậy $(S):\left(x-\frac{32}{3}\right)^2+\left(y+\frac{58}{3}\right)^2+\left(z+\frac{44}{3}\right)^2=932$.
Bài toán 7: Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(2;3;-1)$ và có bán kính $R=5$.
Lời giải
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ là: $(S): (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm $I(2;3;-1)$ và có bán kính $R=5$ là: $(S): (x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25$.
Bài toán 8: Cho mặt phẳng $(P): 2x-y-2z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = – t\\ y = 2t – 1\\ z = t + 2 \end{array} \end{array}} \right.$
Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc $d$ và $I$ cách $(P)$ một khoảng bằng $2$ và $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$.
Lời giải
Gọi $I(-t;2t-1;t+2)\in d$ là tâm của mặt cầu $(S)$ và $R$ là bán kính của $(S)$.
Theo giả thiết: $R=\sqrt{\left[d\left(I;(P)\right)\right]^2+r^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
Mặt khác: $d\left( {I;(P)} \right) = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 2t – 2t + 1 – 2t – 4 – 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2$ $ \Leftrightarrow |6t + 5| = 6$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} t = \frac{1}{6}\\ t = – \frac{{11}}{6} \end{array} \end{array}} \right.$
- Với $t=\frac{1}{6}$: Tâm $I_1\left(-\frac{1}{6};-\frac{2}{3};\frac{13}{6}\right)$, suy ra $(S_1):\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\left(y+\frac{2}{3}\right)^2+\left(z-\frac{13}{6}\right)^2=13$.
- Với $t=-\frac{11}{6}$: Tâm $I_2\left(\frac{11}{6};-\frac{2}{3};\frac{1}{6}\right)$, suy ra $(S_2):\left(x-\frac{11}{6}\right)^2+\left(y+\frac{2}{3}\right)^2+\left(z-\frac{1}{6}\right)^2=13$.
Bài toán 9: Cho điểm $I(1;0;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$ và cắt $d$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $\triangle IAB$ vuông tại $I$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ có một vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$ và $P(1;-1;1)\in d$.
Ta có: $\overrightarrow{IP}=(0;-1;-2)\Rightarrow\left[\vec{u},\overrightarrow{IP}\right]=(0;-4;-2)$. Suy ra: $d(I;d)=\frac{\left|\left[\vec{u},\overrightarrow{IP}\right]\right|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{20}}{3}$.
Gọi $R$ là bán kính của $(S)$. Theo giả thiết, $\triangle IAB$ vuông tại $I$
$ \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{A^2}}} + \frac{1}{{I{B^2}}} = \frac{2}{{{R^2}}}$ $ \Rightarrow R = \sqrt 2 IH$ $ = \sqrt 2 ,d(I,d) = \frac{{\sqrt {40} }}{3}$
Vậy $(S):\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-3\right)^2=\frac{40}{9}$.
Bài toán 10: Cho hai mặt phẳng $(P): 5x-4y+z-6=0$, $(Q): 2x-y+z+7=0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}{7}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ là giao điểm của $(P)$ và $\Delta$ sao cho $(Q)$ cắt $(S)$ theo một hình tròn có diện tích là $20\pi$.
Lời giải
Ta có $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} x = 1 + 7t\\ y = 3t\\ z = 1 – 2t \end{array} \end{array}} \right.$
Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 7t\,\,\,\left( 1 \right)\\ y = 3t\,\,\left( 2 \right)\\ z = 1 – 2t\,\,\left( 3 \right)\\ 5x – 4y + z – 6 = 0\,\,\left( 4 \right) \end{array} \right.$
Thay $(1)$, $(2)$, $(3)$ vào $(4)$ ta có: $5(1+7t)-4(3t)+(1-2t)-6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I(1;0;1)$.
Ta có: $d\left(I,(Q)\right)=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến của $(S)$ và mặt phẳng $(Q)$. Ta có: $20\pi=\pi r^2\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}$.
$R$ là bán kính mặt cầu $(S)$ cần tìm.
Theo giả thiết: $R=\sqrt{\left[d\left(I,(Q)\right)\right]^2+r^2}=\frac{\sqrt{330}}{3}$.
Vậy $(S):\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=\frac{110}{3}$.