Dạng toán tính thể tích hình chóp tứ diện là một trong những dạng toán hình học không gian đặc biết của thể tích hình chóp, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các bài kiểm tra môn Toán lớp 11, lớp 12. Để giải quyết tốt dạng bài này, các em cần nắm vững công thức $V = \frac{1}{3}S_{đáy}\cdot h$, đồng thời biết cách xác định đường cao và diện tích đáy trong từng trường hợp cụ thể như tứ diện đều, chóp tam giác đều, chóp tứ giác đều hay chóp có yếu tố góc đặc biệt.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng hệ thống lại toàn bộ công thức tính thể tích hình chóp, tứ diện, kết hợp với các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết, giúp các em dễ dàng vận dụng vào việc giải toán và ôn luyện thi cử.
Thể tích khối tứ diện là lượng không gian ba chiều mà khối tứ diện (hình chóp tam giác) chiếm, được tính bằng đơn vị thể tích (cm³, m³,…).
I. Công thức tính
1. Theo chiều cao và diện tích đáy
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h$
Trong đó:
- $S_{đáy}$: diện tích một mặt được chọn làm đáy (tam giác)
- $h$: chiều cao, là khoảng cách từ đỉnh đối diện xuống mặt đáy đó
2. Theo tích có hướng (trong không gian Oxyz)
Nếu tứ diện $ABCD$ có $A, B, C, D$ là 4 điểm trong không gian:
$V = \frac{1}{6} \left| \left[ \vec{AB}, \vec{AC} \right] \cdot \vec{AD} \right|$
Đây là $\frac{1}{6}$ giá trị tuyệt đối của tích hỗn hợp ba vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$.
3. Tứ diện đều cạnh $a$
$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$
II. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $BCD$ là tam giác với diện tích $S = 12\ cm^2$, chiều cao từ $A$ xuống mặt $(BCD)$ là $h = 9\ cm$.
Lời giải
$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 9 = 36\ cm^3$
Câu 2: Cho khối chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCA)$ lần lượt tạo với đáy các góc $90°$, $60°$, $60°$. Biết tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $AB = 2a$, chu vi tam giác $ABC$ bằng $10a$. Tính thể tích khối chóp tứ diện $S.ABC$.
Lời Giải
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Suy ra $SH \perp AB \Rightarrow SH \perp (ABC)$ và $SH = \frac{AB}{2} = a$.
Gọi $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $BC$ và $CA$. Khi đó $HI \perp BC$, $HK \perp CA \Rightarrow \widehat{SIH} = \widehat{SKH} = 60°$.
Suy ra $HI = HK = SH\cot 60° = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC} = S_{HAC} + S_{HBC} = \frac{1}{2}\cdot (HI\cdot BC + HK\cdot CA)$
$= \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot (BC + CA) = \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot (10a – 2a) = \frac{4a\sqrt{3}}{3}.$
Vậy $V = \frac{S_{ABC}\cdot SH}{3} = \frac{4\sqrt{3}a^3}{9}$.
Chọn đáp án (D)
Câu 3: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD = BD = 1$, $CD = \sqrt{2}$. Hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$ vuông góc với nhau. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $ABCD$.
Lời Giải
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BC$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AH \perp BC$.
Mà $(ABC) \perp (BCD) \Rightarrow AH \perp (BCD)$.
Vì $AB = AC = AD$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$.
Suy ra $\triangle BCD$ vuông tại $D$. Khi đó $BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{3}$.
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên $AH = \sqrt{AC^2 – CH^2} = \sqrt{AC^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}.$
Vậy $V_{ABCD} = \frac{1}{3}\cdot AH\cdot S_{BCD} = \frac{1}{3}\cdot AH\cdot \frac{1}{2}\cdot DB\cdot DC = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.
Chọn đáp án (C)
Câu 4: Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60°$. Tính thể tích hình chóp tứ diện đã cho.
Lời Giải
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$.
Khi đó $SG \perp (ABC)$.
Ta cũng có $AM \perp BC$ và $(SBC)\cap (ABC) = BC$ nên góc giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy $(ABC)$ là $\widehat{SMG} = 60°$.
Ta tính được $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SG = GM\cdot \tan\widehat{SMG} = \frac{a}{2}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SG = \frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$.
Chọn đáp án (C)
Câu 5:Thể tích $V$ của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên gấp đôi cạnh đáy là bao nhiêu?
Lời Giải
Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên gấp đôi cạnh đáy.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$.
Khi đó $SG \perp (ABC)$.
Ta tính được $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $SG = \sqrt{SA^2 – AG^2} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$. Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SG = \frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{33}}{3} = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}.$
Câu 6: Khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $2\sqrt{3}a$ và thể tích bằng $4\sqrt{3}a^3$. Chiều cao $h$ của khối chóp đã cho là bao nhiêu?
Lời Giải
Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh bên bằng $2\sqrt{3}a$ và thể tích bằng $4\sqrt{3}a^3$. Giả sử cạnh đáy bằng $x$, $x>0$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$.
Khi đó $SG \perp (ABC)$.
Ta tính được $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{3}$ và
$h^2 = SG^2 = SA^2 – AG^2 = 12a^2 – \frac{x^2}{3} \Rightarrow x^2 = 3\left(12a^2 – h^2\right).$
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SG$ $ \Rightarrow h = SG = \frac{{3V}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{48{a^3}}}{{{x^2}}}$ $ \Rightarrow h{x^2} = 48{a^3}\$
Do đó ta có phương trình \[3h\left( {12{a^2} – {h^2}} \right) = 48{a^3}\] \[ \Leftrightarrow 16{a^3} – 12{a^2}h + {h^3} = 0\] \[ \Rightarrow h = 2a\]
Vậy chiều cao của khối chóp đã cho là $h = 2a$.
Câu 7: Tính thể tích $V$ của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$.
Lời Giải
Giả sử $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều, $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Khi đó $S_{ABCD} = a^2$,
$h = SO = \sqrt{SA^2 – AO^2} = \sqrt{a^2 – \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow V = \frac{1}{3}S_{ABCD}h = \frac{1}{3}a^2\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
Câu 8: Tính thể tích $V$ của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên có độ dài gấp đôi cạnh đáy.
Lời Giải
Giả sử $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều, $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Khi đó $S_{ABCD} = a^2$, $h = SO = \sqrt{SA^2 – AO^2} = \sqrt{(2a)^2 – \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$.
$\Rightarrow V = \frac{1}{3}S_{ABCD}h = \frac{1}{3}a^2\frac{a\sqrt{14}}{2} = \frac{a^3\sqrt{14}}{6}$.
Câu 9: Tính thể tích $V$ của khối tứ diện đều $ABCD$, biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$ bằng $6$.
Lời Giải
Giả sử $ABCD$ là khối tứ diện đều cạnh $a$ và có khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$ bằng $6$, $O$ là tâm của tam giác $BCD$.
Ta có $h = AO = \sqrt{AB^2 – BO^2} = \sqrt{a^2 – \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt{6}}{3} = 6 \Rightarrow a = 3\sqrt{6}$.
$\Rightarrow V = \frac{1}{3}S_{BCD}\cdot AO = \frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot AO = \frac{1}{3}\cdot \frac{(3\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}\cdot 6 = 27\sqrt{3}$.
Câu 10: Một viên đá hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng $a$. Người ta cắt viên đá bởi mặt phẳng song song với một mặt của khối tứ diện để chia viên đá thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh $x$ của phần cắt ra có hình dạng khối tứ diện đều.
Lời Giải
Thể tích viên đá ban đầu là $V = \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$.
Phần cắt ra có hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng $x$ có thể tích $V’ = \frac{\sqrt{2}x^3}{12}$.
Theo giả thiết, ta có $V’ = \frac{V}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}x^3}{12} = \frac{\sqrt{2}a^3}{24} \Leftrightarrow x = \frac{a}{\sqrt[3]{2}}$.
Như vậy, qua bài viết trên, các em đã được hệ thống lại đầy đủ công thức tính thể tích hình chóp và tứ diện, từ trường hợp tứ diện đều, chóp tam giác đều, chóp tứ giác đều đến các dạng chóp có yếu tố góc, cạnh bên đặc biệt. Việc nắm vững các bước xác định đường cao, diện tích đáy và áp dụng đúng công thức $V = \dfrac{1}{3}S_{đáy}\cdot h$ chính là chìa khóa để giải quyết nhanh và chính xác các bài toán thể tích khối chóp trong đề thi.
Hy vọng với hệ thống ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết ở trên, các em sẽ tự tin hơn khi gặp các dạng bài tương tự trong quá trình ôn luyện. Đừng quên luyện tập thường xuyên để rèn kỹ năng dựng hình và tính toán nhanh nhé!