1. Vì sao dùng phương pháp này
Tọa độ hóa giúp biến một bài toán hình học không gian thành bài toán tính toán với vectơ: gắn hệ trục Oxyz vào hình, biến mỗi điểm thành một bộ ba số, rồi áp dụng công thức có sẵn để tính, thay vì phải kẻ thêm đường phụ và lập luận hình học. Phương pháp đặc biệt hiệu quả với hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, và lăng trụ đứng.
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ
- Tìm trong hình ba đường thẳng đôi một vuông góc, gọi là ba đường cơ sở, dùng làm ba trục Ox, Oy, Oz; giao điểm chung là gốc O. Với các hình quen thuộc, ba đường này thường có sẵn (ví dụ ba cạnh chung một đỉnh của hình hộp chữ nhật). Nếu hình không có sẵn, cần dựng thêm, thường bằng cách kẻ đường cao rồi từ chân đường cao kẻ vuông góc với các cạnh đáy.
- Có thể quy ước trực quan: trục hướng về phía mình là Ox, trục nằm ngang là Oy, trục còn lại là Oz — đây chỉ là cách gọi cho dễ vẽ, không phải quy tắc bắt buộc. Điều quan trọng là ba trục vuông góc đôi một, và phải giữ nguyên cách gắn trục đó suốt bài làm.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan
Gán tọa độ cho các điểm bài toán cần dùng. Nếu chưa quen, hãy tìm hình chiếu của điểm lên từng trục để suy ra từng tọa độ; khi quen rồi có thể nhìn hình suy ra trực tiếp dựa vào độ dài các cạnh đã biết. Tọa độ một điểm luôn gắn với hệ trục đã chọn ở bước 1, nên không đổi cách gắn trục giữa bài.
Bước 3: Áp dụng công thức
Khi đã có tọa độ các điểm, tùy yêu cầu đề bài mà áp dụng:
- Diện tích, thể tích: diện tích tam giác, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp, thể tích lăng trụ.
- Góc: góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Khoảng cách: từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Nên học chắc các công thức này trước, để khi làm bài chỉ cần thay số.
2. Khi nào nên dùng
Hiệu quả nhất với hình đã có sẵn ba đường vuông góc. Với hình chưa có sẵn, vẫn dùng được nhưng cần dựng thêm ở bước 1 — nên cân nhắc thời gian dựng hình trước khi chọn phương pháp này thay cho cách giải hình học thông thường.
3. Bài Tập
Câu 1: Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=2a$, $OC=a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
Lời giải
Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau điểm $O$ là gốc tọa độ $OA\equiv Oz$; $OB\equiv Ox$ và $OC\equiv Oy$.
Khi đó ta có $O\left( 0;\,0;\,0 \right)$; $A\left( 0;\,0;\,2a \right)$; $B\left( 2a;\,0;\,0 \right)$ và $C\left( 0;\,a\sqrt{2};\,0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{2a}+\frac{y}{a\sqrt{2}}+\frac{z}{2a}=1$$\Leftrightarrow x+\sqrt{2}y+z-2a=0$.
Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $d\left( O,\,\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| 0+\sqrt{2}.0+0-2a \right|}{\sqrt{1+2+1}}=a$.
Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là tam giác vuông với $AB=AC=2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=3$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính khoảng cách giữa $AM$ và $BC$.
Lời giải
Gắn hệ trụ tọa độ ta có $A\left( 0;0;0 \right)$ là gốc tọa độ, $S\left( 0;0;3 \right),B\left( 2;0;0 \right),C\left( 0;2;0 \right)$.
Điểm $M\left( 0;1;\frac{3}{2} \right)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 0;1;\frac{3}{2} \right),\overrightarrow{BC}=\left( -2;2;0 \right)$. Gọi $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -3;-3;2 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B\left( 2;0;0 \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( -3;-3;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
$\left( P \right):-3x-3y+2z+6=0.$ Ta có $d\left( AM,BC \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)=\frac{\left| -3.0-3.0+2.0+6 \right|}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}.$
Câu 3. Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có độ dài cạnh bằng $1$. Gọi $M,\,\,N,\,P,\,Q$, lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$,$BC$,${C}'{D}’$ và $\text{D{D}’}$. Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ là
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: ${D}’\equiv O;\,Ox\equiv {D}'{A}’;\,\,Oy\equiv {D}'{C}’;\,\,Oz\equiv {D}’D$$$.
Khi đó: $A\left( 1;\,0;\,1 \right)$, $B\left( 1;\,1;\,1 \right)$, $C\left( 0;\,1;\,1 \right)$, $D\left( 0;\,0;\,1 \right)$, ${A}’\left( 1;\,0;\,0 \right)$, ${B}’\left( 1;\,1;\,0 \right)$, ${C}’\left( 0;\,1;\,0 \right)$
Ta có: $M\left( 1;\frac{1}{2};1 \right)$, $N\left( \frac{1}{2};1;1 \right)$, $P\left( 0;\frac{1}{2};0 \right)$, $Q\left( 0;0;\frac{1}{2} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MN}\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{2};0 \right)$, $\overrightarrow{MP}\left( -1;0;-1 \right)$, $\overrightarrow{MQ}\left( -1;\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right)$
$\left| \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MQ} \right|=\left| \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right|=\frac{1}{2}$$\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{6}.\left| \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MQ} \right|=\frac{1}{12}$.
Vậy ${{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right].\overrightarrow{MQ} \right|=\frac{1}{6}\left| -\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{12}$.
Câu 4: Cho tứ diện $O.ABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau $OA=a$ và $OB=OC=2a$. Gọi $P$ là trung điểm của $BC$ (minh họa như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OP$ và $AB$bằng:
Lời giải
Đặt khối tứ diện $O.ABC$ vào hệ trục tọa độ gốc $Oxyz$: các điểm $A,B,C$ lần lượt thuộc các trục tọa độ $Oz,Oy,Ox$.
Ta có: $O\left( 0;0;0 \right)$, $A\left( 0;0;1 \right)$, $B\left( 0;2;0 \right)$, $C\left( 2;0;0 \right)$, $P\left( 1;1;0 \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 0;2;-1 \right)$.
Khi đó:$d\left( OP;AB \right)=\frac{\left| \left[ ~\overrightarrow{OP}\text{ }\!\!~\!\!\text{ };\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{AB}~ \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\cdot \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{OB} \right|}{\left| \left[ ~\overrightarrow{OP}\text{ }\!\!~\!\!\text{ };\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{AB}~ \right] \right|}=\frac{\sqrt{6}}{3}\left( a \right)$.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left( 10;3;0 \right)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=\left( 2;-2;1 \right)$ với tốc độ $4,5$m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).
a) Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{align} & x=10+2t \\ & y=3-2t \\ & z=t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
b) Giả sử sau thời gian $t$(s) kể từ lúc xuất phát $\left( t\ge 0 \right)$ thì cabin đến điểm $M$. Khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left( 3t+10;-3t+3;\frac{3t}{2} \right)$.
c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${{x}_{B}}=550$, khi đó quãng đường $AB$ dài 800 m.
d) Đường cáp $AB$ tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc $30{}^\circ $.
Lời giải
a) Đúng: Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{align} & x=10+2t \\ & y=3-2t \\ & z=t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
b) Đúng: Ta có $AM=v.t=4,5t$ và ta gọi $M\left( 10+2m\,;\,\,3-2m\,;\,\,m \right)$ thuộc đường thẳng $d$
Khi đó: $\overrightarrow{AM}=\left( 2m;\,-2m;\,m \right)$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ nên $m$ dương
Suy ra $AM=\sqrt{4{{m}^{2}}+4{{m}^{2}}+{{m}^{2}}}=3\left| m \right|\xrightarrow{m>0}$$m=1,5t$ nên $M\left( 3t+10;-3t+3;\frac{3t}{2} \right)$
c) Sai: Từ câu trên suy ra $M\equiv B\Leftrightarrow 10+3t=550\Leftrightarrow t=180$
Khi đó: $AB=vt=4,5.t=4,5.180=810$mét
d) Sai: Ta có $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 2;\,-2;\,1 \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $z=0$ nên ta có $\overrightarrow{n}=\left( 0\,;\,0;\,1 \right)$
Từ đó: $\sin \alpha =\left| \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|} \right|=\frac{1}{3}$ nên $\alpha \ne 30{}^\circ $
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh có cạnh bằng $a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Khi $a=2$, hãy tính độ dài cạnh $SA$ để góc tạo bởi $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng $60{}^\circ $.
Lời giải
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, $M$ là trung điểm của $SC$ và đặt $SA=2m(m>0)$
Khi đó $B\left( \frac{a}{\sqrt{2}};0;0 \right),D\left( -\frac{a}{\sqrt{2}};0;0 \right),C\left( 0;\frac{a}{\sqrt{2}};0 \right),M\left( 0;0;m \right)$
Ta có $\left( SBC \right):\frac{x}{\frac{a}{\sqrt{2}}}+\frac{y}{\frac{a}{\sqrt{2}}}+\frac{z}{m}=1\Rightarrow {{\vec{n}}_{SBC}}=\left( 1;1;\frac{a}{m\sqrt{2}} \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( SDC \right):\frac{x}{-\frac{a}{\sqrt{2}}}+\frac{y}{\frac{a}{\sqrt{2}}}+\frac{z}{m}=1\Rightarrow {{\vec{n}}_{\text{SDC }\!\!~\!\!\text{ }}}=\left( -1;1;\frac{a}{m\sqrt{2}} \right)$
Yêu cầu bài toán tương đương với $\left( \left( SBC \right),\left( SDC \right) \right)=60{}^\circ \Leftrightarrow \left| \text{cos}\left( {{{\vec{n}}}_{SBC}},{{{\vec{n}}}_{SDC}} \right) \right|=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{\left| {{\left( \frac{a}{m\sqrt{2}} \right)}^{2}} \right|}{1+1+{{\left( \frac{a}{m\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{m\sqrt{2}} \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow 2m=2$.
Skip to PDF content