Toán thực tế về khối tròn xoay là một trong những chủ đề quan trọng và thú vị nhất trong chương trình Toán THPT, bởi nó gắn liền trực tiếp với những vật dụng, công trình quen thuộc trong đời sống hàng ngày như thùng đựng nước, cột nhà, mũ nón, đồ chơi, dụng cụ sinh hoạt… Khác với các bài toán hình học thuần túy, dạng toán này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững công thức tính diện tích, thể tích của hình trụ, hình nón, hình cầu mà còn phải biết cách phân tích đề bài, hình dung mô hình thực tế để chuyển hóa thành các đại lượng toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tổng hợp và giải chi tiết một số dạng bài tập điển hình về toán thực tế khối tròn xoay thường xuất hiện trong các đề thi và đề kiểm tra, giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng công thức vào tình huống thực tiễn, từ đó tự tin hơn khi gặp các bài toán tương tự trong kỳ thi sắp tới.
I. Các công thức cần nhớ
1. Hình trụ
Một hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$:
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi rh$
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi rh + 2\pi r^2$
- Thể tích: $V = \pi r^2 h$
2. Hình nón
Một hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$, đường sinh $l = \sqrt{r^2+h^2}$:
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi r l$
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = \pi rl + \pi r^2$
- Thể tích: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. Hình nón cụt
Một hình nón cụt có bán kính hai đáy $r_1, r_2$, đường sinh $l$, chiều cao $h$:
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi(r_1+r_2)l$
- Thể tích: $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
4. Hình cầu
Một hình cầu có bán kính $R$:
- Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$
- Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
II. Bài tập
Câu 1. Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2 m. Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bổ đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380000/1 m². Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết tất cả các cây cột nhà đó?
Lời giải
Diện tích xung quanh của hai cây cột trước đại sảnh là $S_1 = 2 \cdot (2\pi \cdot 0{,}2 \cdot 4{,}2)$.
Diện tích xung quanh của sáu cây cột trước đại sảnh là $S_2 = 6 \cdot (2\pi \cdot 0{,}13 \cdot 4{,}2)$.
Số tiền người chủ phải trả để sơn hết các cây cột là $(S_1 + S_2) \times 380000 \approx 11833000$.
Câu 2. Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng 5 cm vào một cái bình hình trụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên dưới cùng tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối cùng là đổ rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau đây?
Lời giải
Thể tích của 6 khối cầu là $V_1 = 6 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 6 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = 1000\pi \text{ (cm}^3\text{)}$.
Thể tích của cái bình hình trụ là $V_2 = \pi R^2 \cdot h = \pi \cdot 5^2 \cdot (6 \cdot 10) = 1500\pi \text{ (cm}^3\text{)}$.
Thể tích rượu tối thiểu cần đổ vào bình là $V = V_2 – V_1 = 1500\pi – 1000\pi = 500\pi \text{ (cm}^3\text{)} = 1{,}57(l)$.
Câu 3. Người ta làm một dụng cụ sinh hoạt gồm hình nón và hình trụ như hình vẽ. Cần bao nhiêu mét vuông vật liệu để làm?
Lời Giải
Dựa vào hình vẽ ta có các kích thước như sau
Bán kính đáy của hình nón và hình trụ $r = \frac{1,4}{2} = 0,7$ m.
Chiều cao của hình nón $h = 1,6 – 0,7 = 0,9$ m.
Suy ra độ dài đường sinh của hình nón $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{0,9^2 + 0,7^2} = \sqrt{1,3}$.
Tổng vật liệu cần làm bằng diện tích xung quanh của khối hình ${S_{xq}} = {S_{xp\;h.non}} + {S_{xq\;h.tru}}$ $ = \pi rl + 2r\pi \cdot {h_{tru}}$ $ = \pi \cdot 0,7 \cdot \sqrt {1,3} + 2 \cdot 0,7\pi \cdot 0,7$ $ = 5,586 \approx 5,6.$
Câu 4. Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ $(T)$ gắn chồng lên một khối hình nón $(N)$, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là $r_1, h_1, r_2, h_2$ thoả mãn $r_2 = 2r_1, h_1 = 2h_2$. Biết rằng thể tích của khối nón $(N)$ bằng $20$ cm$^3$. Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng
Lời Giải
Thể tích khối nón là $V_N = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2 = 20$ cm$^3$.
Thể tích khối trụ là $V_T = \pi r_1^2 h_1 = \pi \left(\frac{r_2}{2}\right)^2 2h_2 = \frac{3}{2}V_N = 30$ cm$^3$.
Vậy thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là $V = V_N + V_T = 50$ cm$^3$.
Câu 5. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu. Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50,24 lít. Diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần với giá trị nào sau đây nhất?
Lời Giải
Gọi tấm thép hình chữ nhật ban đầu là $ABCD$, $r$ là bán kính của hình tròn đáy.
Ta có $3h = 4r + h \Leftrightarrow h = 2r$.
Thể tích của thùng đựng dầu là $V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 3,14 \cdot r^2 \cdot 2r = 6,28r^3$
$\Leftrightarrow 50,24 = 6,28r^3$
$\Leftrightarrow r^3 = 8$
$\Leftrightarrow r = 2\ (\text{dm}) = 0,2\ (\text{m})$.
Do đó $AD = 3h = 6r = 1,2$ (m) và $AB = 2\pi \cdot r = 1,256$ (m).
Vậy diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu là
$S = AB \cdot AD = 1,2 \cdot 1,256 = 1,5072$ (m$^2$).
Câu 6. Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng $1$, chiều cao bằng $2$. Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu. Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ ban đầu là
Lời Giải
Thể tích của khối trụ là $V = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$.
Vì đường tròn đáy của khối trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu nên bán kính của mỗi nửa khối cầu là $R = 1$.
Thể tích của hai nửa khối cầu bị khoét đi là $V_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi \cdot 1^3}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là $V_2 = V – V_1 = 2\pi – \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là $\frac{V_2}{V} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi} = \frac{1}{3}$.
Câu 7. Một thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy là $65$ cm và chiều cao $160$ cm. Hỏi thùng đó đựng được tối đa bao nhiêu lít nước?
Lời Giải
Thể tích khối trụ $V = \pi r^2 h = \pi(6,5)^2 \cdot 16 = 676\pi \approx 2123,7\ (l)$.
Câu 8. Tính diện tích vải tối thiểu để may được chiếc mũ có hình dạng và kích thước được cho bởi hình vẽ bên, biết phía trên có dạng hình nón và phía dưới có dạng hình vành khăn.
Lời Giải
.
Gọi $S_1, S_2$ lần lượt là diện tích xung quanh của hình nón phía trên và diện tích của hình vành khăn phía dưới.
Ta có $S_1 = \pi \cdot 5 \cdot 40 = 200\pi$ và $S_2 = \pi \cdot 15^2 – \pi \cdot 5^2 = 200\pi$.
Khi đó diện tích vải tối thiểu để may được chiếc mũ là $S_1 + S_2 = 200\pi + 200\pi = 400\pi$.
Câu 9. Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2 m. Trong đó 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40 cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26 cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380 000 đồng/m$^2$ thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó?
Lời Giải
Diện tích cần sơn chính là tổng diện tích xung quanh của các cây cột có dạng hình trụ.
Gọi $S_1, S_2$ lần lượt là tổng diện tích xung quanh của 4 cây cột nhà hình trụ có đường kính 40 cm và 6 cây cột nhà hình trụ có đường kính 26 cm.
Gọi $r_1, l_1$ lần lượt là bán kính, độ dài đường sinh của 4 cây cột nhà hình trụ có đường kính 40cm và $r_2, l_2$ lần lượt là bán kính, độ dài đường sinh của 6 cây cột nhà hình trụ có đường kính 26 cm.
Khi đó $r_1 = 20$ cm $= 0,2$ m, $l_1 = 4,2$ m nên $S_1 = 4 \cdot 2\pi r_1 l_1 = 8\pi \cdot 0,2 \cdot 4,2 = \frac{168\pi}{25}$ m$^2$.
Lại có: $r_2 = 13$ cm $= 0,13$ m, $l_2 = 4,2$ m nên $S_2 = 6 \cdot 2\pi r_2 l_2 = 12\pi \cdot 0,13 \cdot 4,2 = \frac{819\pi}{125}$ m$^2$.
Vậy số tiền người chủ biệt thự phải trả để sơn 10 cây cột nhà là $\left(\frac{168\pi}{25} + \frac{819\pi}{125}\right) \cdot 380,000 \approx 15,844,000$.
Câu 10. Một cái “cù” gồm hai khối: khối trụ $H_1$ và khối nón $H_2$ như hình bên. Chiều cao và bán kính khối trụ lần lượt bằng $h_1, r_1$ chiều cao và bán kính đáy của khối nón lần lượt bằng $h_2, r_2$ thỏa mãn $h_1 = \frac{1}{3}h_2$, $r_1 = \frac{1}{2}r_2$. Biết thể tích toàn khối là $30$ cm$^3$, thể tích khối $H_1$ bằng
Lời Giải
Ta có: $h_1 = \frac{1}{3}h_2 \Leftrightarrow h_2 = 3h_1$, $r_1 = \frac{1}{2}r_2 \Leftrightarrow r_2 = 2r_1$.
Thể tích khối trụ $H_1$ là $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.
Thể tích khối nón $H_2$ là $V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi (2r_1)^2 \cdot 3h_1 = 4\pi r_1^2 h_1 = 4V_1$.
Thể tích toàn khối là $V = V_1 + V_2 \Leftrightarrow 30 = V_1 + 4V_1 \Leftrightarrow 30 = 5V_1 \Leftrightarrow V_1 = 6$.
Vậy thể tích khối $H_1$ bằng $6$ cm$^3$.