Tìm tâm và bán kính mặt cầu là một trong những dạng bài tập cơ bản nhưng xuất hiện thường xuyên trong chương trình Hình học không gian Oxyz lớp 12, đặc biệt trong các đề thi học kỳ và đề thi THPT Quốc gia. Để giải nhanh và chính xác dạng toán này, học sinh cần nắm vững hai dạng phương trình mặt cầu: phương trình chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ và phương trình tổng quát $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, cùng với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ để một phương trình thực sự là phương trình mặt cầu. Bài viết dưới đây sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết theo từng bước, kèm sơ đồ tư duy và các ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em dễ dàng vận dụng vào nhiều dạng bài khác nhau, từ nhận dạng phương trình đơn giản đến các bài có chứa tham số $m$.
I. Kiến thức cơ bản
1. Phương trình chính tắc
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có phương trình: $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$
Cách đọc tâm – bán kính: Nếu phương trình đã cho có đúng dạng này (vế trái là tổng 3 bình phương, vế phải là một số dương) thì:
- Tâm: $I(a;b;c)$ — lấy đối số trong từng dấu ngoặc.
- Bán kính: $R=\sqrt{\text{(vế phải)}}$.
2. Phương trình tổng quát
$$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$$
Điều kiện để là phương trình mặt cầu: $$a^2+b^2+c^2-d>0$$
Khi đó:
- Tâm: $I(a;b;c)$
- Bán kính: $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$
Lưu ý quan trọng: Hệ số của $x^2,y^2,z^2$ phải bằng nhau và bằng $1$. Nếu phương trình có dạng $Ax^2+Ay^2+Az^2+\ldots=0$ với $A\neq 1$, phải chia cả hai vế cho $A$ trước khi đồng nhất hệ số (như Bài toán 1c).
II. Phương pháp giải
Bước 1: Kiểm tra hệ số của $x^2,y^2,z^2$. Nếu chưa bằng $1$, chia cả phương trình cho hệ số đó.
Bước 2: Đồng nhất phương trình về dạng: $$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$$ để xác định $a,b,c,d$ (chú ý dấu: hệ số của $x$ trong phương trình là $-2a$, nên $a=-\frac{\text{hệ số của }x}{2}$, tương tự cho $b,c$).
Bước 3: Tính $a^2+b^2+c^2-d$.
- Nếu $a^2+b^2+c^2-d>0$ ⟹ là phương trình mặt cầu, có: $$I(a;b;c), \quad R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$$
- Nếu $a^2+b^2+c^2-d\le 0$ ⟹ không phải phương trình mặt cầu (không có tâm, không có bán kính).
Bước 4 (nếu có tham số $m$): Biểu thức $a^2+b^2+c^2-d$ sẽ phụ thuộc $m$. Giải bất phương trình này $>0$ để tìm miền $m$ thỏa mãn, từ đó suy ra tâm $I$ và bán kính $R$ theo $m$.
III. Bài tập
Bài toán 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) $(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=5$.
b) $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+1=0$.
c) $3x^2+3y^2+3z^2-6x+3y+21=0$.
Lời giải
a) Phương trình $(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=5$ có dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ nên là phương trình mặt cầu có tâm $I(2;-3;0)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
b) Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+1=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d$ với $a=1,b=-2,c=3,d=1 \Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=13>0$.
Vậy phương trình cho là phương trình mặt cầu có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{13}$.
c) Phương trình $3x^2+3y^2+3z^2-6x+3y+21=0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+y+7=0$ có dạng
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d$ với $a=1,b=-\frac{1}{2},c=0,d=7 \Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=-\frac{23}{4}<0$.
Vậy phương trình cho không phải là phương trình mặt cầu.
Bài toán 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tìm $m$ để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.
a) $x^2+y^2+z^2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0$.
b) $x^2+y^2+z^2-2(m-3)x-4mz+8=0$.
Lời giải
a) Phương trình $x^2+y^2+z^2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0$ có dạng
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d$ với $a=m,b=-(m+1),c=2,d=1$.
ĐK: $a^2+b^2+c^2-d>0 \Leftrightarrow m^2+(m+1)^2+2^2-1>0 \Leftrightarrow 2m^2+2m+4>0 \Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$.
b) Phương trình $x^2+y^2+z^2-2(m-3)x-4mz+8=0$ có dạng
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d$ với $a=m-3,b=0,c=2m,d=8$.
ĐK: ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0$ $ \Leftrightarrow {(m – 3)^2} + {(2m)^2} – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow 5{m^2} – 6m + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < \frac{1}{5}\\ m > 1 \end{array} \right.$
Bài toán 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương phương trình $x^2+y^2+z^2+2(m+2)x-2(m-3)z+m^2-1=0$ là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
A. $m\in\mathbb{R}$.
B. $m=0$.
C. $m=2$.
D. $m=1$.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình $x^2+y^2+z^2+2(m+2)x-2(m-3)z+m^2-1=0$ có dạng:
$x^2+y^2+z^2-2ax–2by-2cz+d=0$ với $a=-(m+2),b=0,c=m-3,d=m^2-1$.
ĐK để pt cho là pt mặt cầu: $a^2+b^2+c^2-d>0 \Rightarrow (m+2)^2+(m-3)^2-(m^2-1)>0$
$\Leftrightarrow m^2-2m+14>0 \Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$.
Khi đó bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{m^2-2m+14}=\sqrt{(m-1)^2+13}\ge\sqrt{13}$
Do đó $\min R=\sqrt{13}$ khi $m=1$.