Khi chúng ta học Toán, mỗi con số, mỗi hình vẽ đều mang trong mình một câu chuyện thú vị. Đặc biệt, hình học – một nhánh quan trọng của toán học – không chỉ giúp chúng ta đo lường thế giới mà còn dạy chúng ta cách nhìn nhận không gian một cách logic và chính xác.
Ở lớp 5, các em bắt đầu tiếp cận với những công thức quan trọng như chu vi, diện tích, thể tích… Những kiến thức này không hề khô khan nếu ta hiểu bản chất và biết cách áp dụng. Một nhà toán học không chỉ học công thức để ghi nhớ, mà còn phải hiểu được “vì sao lại như vậy”, “áp dụng khi nào” và “làm sao để tính nhanh, đúng”.
Trong tài liệu này, thầy sẽ cùng các em tổng hợp lại toàn bộ công thức hình học Toán lớp 5 từ bộ sách cánh diều; chân trời sáng tạo và kết nối tri thức. Tài liệu sẽ chia theo từng dạng bài, kèm ví dụ minh họa rõ ràng. Mỗi công thức không chỉ được trình bày ngắn gọn mà còn đi kèm lưu ý quan trọng giúp ghi nhớ lâu và tránh sai sót thường gặp.
Hãy cùng thầy bước vào hành trình khám phá thế giới hình học – nơi mà mỗi công thức là một chìa khóa mở ra những điều kỳ diệu!
Phần I. Hình phẳng
1. Hình tam giác
Định nghĩa: Hình tam giác là hình được tạo thành bởi ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng
Các thành phần: 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 góc
- Đáy: một cạnh bất kỳ của tam giác
- Chiều cao: đoạn vuông góc từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (đáy)
Tính chất:
- Tổng ba góc trong tam giác bằng 180°
- Mỗi cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia
Công thức diện tích: S = (a × h) ÷ 2
- a: độ dài đáy
- h: chiều cao tương ứng với đáy đó
Ví dụ: Một thửa ruộng hình tam giác có đáy dài 24m, chiều cao 15m. Diện tích thửa ruộng là: S = (24 × 15) ÷ 2 = 360 ÷ 2 = 180 m²
2. Hình thang
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song với nhau
Các thành phần:
- Hai đáy: hai cạnh song song (đáy lớn và đáy nhỏ)
- Hai cạnh bên: hai cạnh không song song
- Chiều cao: khoảng cách giữa hai đáy (đoạn vuông góc nối hai đáy)
Tính chất:
- Có một cặp cạnh đối song song
- Tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180°
Phân loại:
- Hình thang vuông: có một góc vuông
- Hình thang cân: hai cạnh bên bằng nhau
Công thức diện tích: S = (a + b) × h ÷ 2
- a, b: độ dài hai đáy song song
- h: chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)
Ví dụ: Một mảnh vườn hình thang có đáy lớn 30m, đáy nhỏ 20m, chiều cao 12m. Diện tích mảnh vườn là: S = (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 50 × 12 ÷ 2 = 300 m²
3. Hình tròn và đường tròn
Định nghĩa:
- Đường tròn: là hình gồm các điểm cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng bằng nhau (bán kính)
- Hình tròn: là hình gồm đường tròn và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó
Các thành phần:
- Tâm: điểm cố định
- Bán kính (r): khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn
- Đường kính (d): đoạn thẳng đi qua tâm, nối hai điểm trên đường tròn (d = 2r)
- Dây cung: đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn
Tính chất:
- Tất cả các bán kính đều bằng nhau
- Đường kính là dây cung dài nhất
- Đường kính chia hình tròn thành hai nửa bằng nhau
Công thức:
- Chu vi hình tròn: C = 2 × π × r (hoặc C = π × d)
- Diện tích hình tròn: S = π × r² ( với π ≈ 3,14)
Ví dụ: Một cái ao hình tròn có bán kính 7m.
- Chu vi: C = 2 × 3,14 × 7 = 43,96 m
- Diện tích: S = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 m²
Phần II. Hình khối
1. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình khối có 6 mặt đều là hình chữ nhật
Các thành phần:
- 6 mặt (đều là hình chữ nhật)
- 12 cạnh
- 8 đỉnh
Các kích thước: chiều dài (a), chiều rộng (b), chiều cao (h)
Tính chất:
- Các mặt đối diện song song và bằng nhau
- Các cạnh đối diện song song và bằng nhau
- Tất cả các góc đều là góc vuông
Hình khai triển: Khi cắt và trải phẳng, được 6 hình chữ nhật
Công thức:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2 × h × (a + b)
- Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 × S_đáy = 2 × h × (a + b) + 2 × a × b
- Thể tích: V = a × b × h
Ví dụ: Một hộp quà hình hộp chữ nhật có chiều dài 12cm, chiều rộng 8cm, chiều cao 5cm.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2 × 5 × (12 + 8) = 10 × 20 = 200 cm²
- Diện tích toàn phần: Stp = 200 + 2 × (12 × 8) = 200 + 192 = 392 cm²
- Thể tích: V = 12 × 8 × 5 = 480 cm³
2. Hình lập phương
Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau
Các thành phần:
- 6 mặt (đều là hình vuông bằng nhau)
- 12 cạnh (đều bằng nhau)
- 8 đỉnh
Cạnh: a (tất cả các cạnh đều bằng a)
Tính chất: Là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật
- Tất cả các mặt đều là hình vuông bằng nhau
- Tất cả các cạnh đều bằng nhau
- Tất cả các góc đều là góc vuông
Hình khai triển: Khi cắt và trải phẳng, được 6 hình vuông bằng nhau
Công thức:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 4 × a²
- Diện tích toàn phần: Stp = 6 × a²
- Thể tích: V = a³
Ví dụ: Một khối rubik có cạnh 6cm.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 4 × 6² = 4 × 36 = 144 cm²
- Diện tích toàn phần: Stp = 6 × 6² = 6 × 36 = 216 cm²
- Thể tích: V = 6³ = 216 cm³
3. Hình trụ
Định nghĩa: Hình trụ là hình khối được tạo thành khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh cố định
Các thành phần:
- 2 đáy: là hai hình tròn bằng nhau, song song với nhau
- Mặt xung quanh: là mặt cong nối hai đáy
- Bán kính đáy (r): bán kính của hai hình tròn đáy
- Chiều cao (h): khoảng cách giữa hai đáy
Tính chất:
- Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau và song song
- Mặt xung quanh là mặt cong
- Trục của hình trụ vuông góc với hai đáy và đi qua tâm của chúng
Hình khai triển: Khi cắt dọc và trải phẳng, ta được:
- 2 hình tròn (hai đáy)
- 1 hình chữ nhật (mặt xung quanh)
Ví dụ: Một lon nước ngọt hình trụ cao 12cm, đáy có bán kính 3cm. Khi cắt dọc và trải phẳng, ta được hình khai triển gồm: 2 hình tròn (đáy) và 1 hình chữ nhật (thân trụ).
Phần III. Đo lường và đơn vị đo
1. Đơn vị đo diện tích
Ôn tập: cm², dm², m²
Đơn vị lớn:
Héc-ta (ha): 1 ha = 10.000 m²
Ki-lô-mét vuông (km²): 1 km² = 100 ha = 1.000.000 m²
Ví dụ: Một khu vườn có diện tích 3 ha = 3 × 10.000 = 30.000 m²
Diện tích tỉnh Hà Nội là 3.359 km² = 3.359 × 1.000.000 = 3.359.000.000 m²
2. Đơn vị đo thể tích
Xăng-ti-mét khối (cm³): Đơn vị cơ bản
Đề-xi-mét khối (dm³): 1 dm³ = 1.000 cm³
Mét khối (m³): 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³
Ví dụ:
Thể tích một hộp sữa: 250 cm³ = 0,25 dm³
Thể tích một bể bơi: 2,5 m³ = 2.500 dm³ = 2.500.000 cm³
3. Khái niệm thể tích
Định nghĩa: Thể tích của một hình là số đo phần không gian mà hình đó chiếm chỗ
Tính chất:
- Thể tích luôn là số dương
- Đơn vị đo thể tích là đơn vị khối (cm³, dm³, m³)
- Thể tích của hình lớn hơn thì lớn hơn thể tích của hình nhỏ hơn
Ước lượng và tính toán thể tích của các hình khối
Ví dụ: Một bể nước hình hộp chữ nhật dài 2m, rộng 1,5m, cao 1,2m có thể tích: V = 2 × 1,5 × 1,2 = 3,6 m³ (có thể chứa 3.600 lít nước)
Phần IV. Kỹ năng thực hành
1. Đo, vẽ, lắp ghép
Thực hành đo, vẽ các hình học cơ bản
Lắp ghép, tạo hình từ các hình học đơn giản
Tính toán và ước lượng:
- Chu vi, diện tích các hình phẳng
- Thể tích các hình khối
Ví dụ: Dùng compa vẽ đường tròn bán kính 4cm, sau đó đo chu vi bằng thước dây được khoảng 25cm. So sánh với tính toán: C = 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm
2. Ứng dụng thực tế
Tỉ lệ bản đồ:
- Định nghĩa: Tỉ lệ bản đồ là tỉ số giữa khoảng cách trên bản đồ và khoảng cách thực tế tương ứng
- Ký hiệu: Tỉ lệ 1:n có nghĩa là 1 đơn vị trên bản đồ tương ứng với n đơn vị thực tế
- Ứng dụng: Đo khoảng cách, tính diện tích thực tế từ bản đồ
Ước lượng các đại lượng hình học trong đời sống
Ví dụ: Trên bản đồ tỉ lệ 1:100.000, khoảng cách giữa hai điểm là 5cm. Khoảng cách thực tế là: 5cm × 100.000 = 500.000cm = 5km