Phần Hình học lớp 8 trong bộ sách Chân trời sáng tạo tập trung vào những kiến thức trọng tâm như hình chóp đều, định lí Pythagore, các loại tứ giác, định lí Thales và phép đồng dạng. Đây đều là nền tảng quan trọng cho chương trình lớp 9 và hình học không gian ở bậc THPT. Bài viết này tổng hợp đầy đủ khái niệm, tính chất, công thức và ví dụ minh họa theo đúng từng bài trong sách, giúp học sinh dễ hiểu – dễ nhớ, đồng thời hỗ trợ giáo viên và phụ huynh trong quá trình giảng dạy và ôn tập.
1. Các hình khối trong thực tiễn
1.1 Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều
- Hình chóp là khối có một mặt đáy là đa giác và mọi cạnh bên cùng gặp tại đỉnh.
- Hình chóp tam giác đều: đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bên bằng nhau.
- Hình chóp tứ giác đều: đáy là hình vuông (tứ giác đều) và tất cả các cạnh bên bằng nhau.
Các yếu tố cần nhận biết trên hình chóp đều:
- $S_{\text{đáy}}$: diện tích đáy (tam giác hoặc hình vuông).
- $h$: chiều cao hình chóp (đo từ đỉnh vuông góc xuống mặt đáy).
- $h_{mb}$: chiều cao mặt bên (chiều cao của tam giác mặt bên).
- Chu vi đáy $p$ (nếu cần tính diện tích xung quanh).
1.2 Công thức diện tích và thể tích
- Diện tích xung quanh (tổng diện tích các mặt bên tam giác): $S_{xq} = \frac{1}{2},p\cdot h_{mb}$(trong đó $p$ là chu vi đáy, $h_{mb}$ là chiều cao mỗi mặt bên nếu các mặt bên bằng nhau).
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$
- Thể tích (mọi hình chóp): $V = \frac{1}{3},S_{\text{đáy}}\cdot h$
1.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh $a=6\ \text{cm}$, chiều cao hình chóp $h=9\ \text{cm}$. Tính thể tích.
Lời giải. Diện tích đáy tam giác đều:
$S_{\text{đáy}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2=9\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$
Thể tích: $V=\frac{1}{3}S_{\text{đáy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 9=27\sqrt{3}\ \text{cm}^3.$
2. Định lí Pythagore và các tứ giác thường gặp
2.1 Định lí Pythagore
Phát biểu.
Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông: $c^2=a^2+b^2$
(trong đó $c$ là cạnh huyền).
Đảo của định lí. Nếu với ba đoạn thẳng $a,b,c$ thoả $c^2=a^2+b^2$ thì tam giác có ba cạnh tương ứng sẽ vuông tại đỉnh đối cạnh $c$.
Ứng dụng chính:
- Tính cạnh thiếu trong tam giác vuông.
- Kiểm tra tam giác vuông (chứng minh).
- Tính khoảng cách, đường chéo.
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật có hai cạnh $3\ \text{cm}$ và $4\ \text{cm}$. Tính đường chéo.
Giải.
Đường chéo chính là cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông 3 và 4: $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}.$
Bài 2: Tứ giác và các dạng đặc biệt
Khái niệm cơ bản. Tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^\circ$:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^\circ.$
Hình thang / Hình thang cân
- Hình thang: có đúng một cặp cạnh song song.
- Hình thang cân: hai cạnh bên bằng nhau ⇒ hai góc kề đáy bằng nhau; hai đường chéo bằng nhau.
Ví dụ 3. Cho hình thang cân có đáy lớn $AB=10\ \text{cm}$, đáy nhỏ $CD=6\ \text{cm}$ và chiều cao $h=4\ \text{cm}$. Tính diện tích.
$S=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot 4=32\ \text{cm}^2.$
Hình bình hành / Hình thoi / Hình chữ nhật / Hình vuông
- Hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
- Hình thoi: hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau; đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.
- Hình chữ nhật: hình bình hành có 4 góc vuông; đường chéo bằng nhau.
- Hình vuông: vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.
Công thức diện tích (cần nhớ):
- Hình bình hành: $S=a\cdot h$ (cạnh nhân chiều cao).
- Hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: $S=\frac{1}{2}d_1 d_2$.
- Hình chữ nhật: $S=ab$ (hai cạnh kề).
3. Định lí Thales và các tính chất liên quan
3.1 Định lí Thales trong tam giác
Phát biểu. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại thì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ: $\frac{AB’}{B’C}=\frac{A B}{B C}=\frac{A’B}{A’C}$
(Tùy cách kí hiệu, bản chất là: các đoạn trên hai cạnh bị chia sẽ tỉ lệ với các đoạn tương ứng).
Đảo. Nếu hai đoạn trên hai cạnh của tam giác tỉ lệ với nhau thì đường nối hai điểm đó song song với cạnh thứ ba.
Ứng dụng: tính tỉ lệ đoạn thẳng, chứng minh song song, giải bài về chia đoạn.
3.2 Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa. Đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác gọi là đường trung bình.
Tính chất: đường trung bình song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó: $MN=\frac{1}{2}BC\quad \text{và}\quad MN\parallel BC.$
3.3 Tính chất đường phân giác
Định lý phân giác. Đường phân giác trong tam giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$
Ví dụ 4. Trong tam giác ABC, AB=6 cm, AC=9 cm. Điểm D trên BC là giao điểm của phân giác từ A. Nếu BC=15 cm, tìm BD và DC.
Lời giải. Ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ và $BD+DC=15$. Giải hệ:
$BD=\frac{2}{5}\cdot 15=6\ \text{cm},\quad DC=9\ \text{cm}.$
4. Hình đồng dạng
4.1 Hai tam giác đồng dạng — định nghĩa & điều kiện
Hai tam giác đồng dạng nếu:
- Các góc tương ứng bằng nhau; hoặc
- Tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
Ký hiệu tỉ số tỷ lệ (tỉ số đồng dạng): $k=\frac{\text{cạnh ở hình 1}}{\text{cạnh tương ứng ở hình 2}}$.
4.2 Các trường hợp đồng dạng
Các trường hợp cơ bản để kết luận hai tam giác đồng dạng:
- G-G-G (Ba góc tương ứng bằng nhau).
- C-G-C (Hai cạnh tỉ lệ và góc giữa hai cạnh bằng nhau).
- C-C-C (Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Đối với tam giác vuông có các trường hợp rút gọn: H-Cg, Cg-Cg, G-G etc.
4.3 Hai hình đồng dạng tổng quát
- Tỉ số diện tích của hai hình đồng dạng là bình phương tỉ số chiều dài: $\frac{S_1}{S_2}=k^2.$
- (Mở rộng) Tỉ số thể tích giữa hai khối cùng dạng tỉ lệ với $k^3$ nếu xét khối.