Em đang tìm tài liệu “công thức hình học 12 Cánh Diều” theo đúng chương trình SGK mới? Cô (thầy) đây sẽ đồng hành cùng em qua bài viết này. Trong bài viết, thầy/cô sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức quan trọng chương hình học không gian Toán 12 (theo sách Cánh Diều), có giải thích dễ hiểu, mẹo ghi nhớ nhanh, và đặc biệt là ví dụ minh họa cụ thể để em áp dụng vào bài tập.
Từ viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, đến tích vô hướng, độ dài vectơ, đến công thức thể tích – khoảng cách – góc, tất cả đều được trình bày theo phong cách dễ theo dõi như bài giảng của thầy/cô trên lớp.
Hãy yên tâm: với cấu trúc chặt chẽ, tiêu đề rõ ràng và các đoạn giải thích “thầy như hướng dẫn tận nơi” – trang này sẽ giúp em ôn luyện nhanh, nhớ lâu, luyện đề dễ dàng.
Phần 1: Tọa độ vectơ trong không gian
Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian
- Vectơ không gian: Biểu diễn bằng bộ ba tọa độ $\vec{a} = (x, y, z)$
- Phép cộng, trừ vectơ: Làm từng thành phần $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$
Nhân vectơ với số: $k\vec{a} = (kx, ky, kz)$
Ví dụ: Cho $\vec{a} = (1, -2, 3), \vec{b} = (4, 0, -1)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$, $2\vec{a}$
Lời giải
$\vec{a} + \vec{b} = (1+4, -2+0, 3+(-1)) = (5, -2, 2)$
$2\vec{a} = (2, -4, 6)$
Bài 2: Tọa độ của vectơ
Cho 2 điểm $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ thì: $\vec{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)$
Ví dụ: Cho $A(1, 2, 3), B(4, -1, 5)$. Tìm tọa độ vectơ $\vec{AB}$
Lời giải
$\vec{AB} = (4 – 1, -1 – 2, 5 – 3) = (3, -3, 2)$
Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Hai vectơ vuông góc ⇔ tích vô hướng bằng 0
Ví dụ: Cho $\vec{a} = (1, 2, 3), \vec{b} = (-2, 1, 0)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Hai vectơ có vuông góc không?
Lời giải
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(-2) + 21 + 30 = -2 + 2 + 0 = 0$ ⇒ Hai vectơ vuông góc
Phần 2. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu
Bài 1: Phương trình mặt phẳng
Dạng tổng quát: $ax + by + cz + d = 0$
$\vec{n} = (a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến.
Xác định mặt phẳng khi biết:
- Một điểm và vectơ pháp tuyến
- Ba điểm không thẳng hàng (dùng tích có hướng)
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, 0, -2)$ và có VTPT $\vec{n} = (2, -1, 3)$
Lời giải
$2(x – 1) -1(y – 0) + 3(z + 2) = 0$ ⇒ Rút gọn: $2x – y + 3z + 4 = 0$
Bài 2: Phương trình đường thẳng
- Dạng tham số: $ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} $ với $\vec{u} = (a, b, c)$: vectơ chỉ phương
- Dạng chính tắc: $ \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c} $
Vị trí tương đối: giữa 2 đường thẳng, mặt phẳng và đường thẳng (song song, cắt nhau, chéo nhau…)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1, -2, 0)$, có VTCP $\vec{u} = (2, 1, -3)$
Lời giải
$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = -3t \end{cases} $
Bài 3: Phương trình mặt cầu
- Dạng chuẩn: $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$
- Tâm: $I(a, b, c)$, bán kính: $R$
Tìm mặt cầu đi qua điểm, tiếp xúc mặt phẳng hoặc chứa đoạn thẳng…
Ví dụ: Tìm phương trình mặt cầu tâm $I(1, -2, 3)$, bán kính $R = 5$
Lời giải
$ (x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 25 $