Ngày ấy, tôi từng loay hoay giữa hàng chục công thức hình học lớp 12 – hết mặt phẳng lại đến đường thẳng, hết tọa độ lại đến mặt cầu. Sách giáo khoa Chân Trời Sáng Tạo thì đầy đặn, nhưng mỗi lần ôn thi tôi lại rối tung vì chẳng biết bắt đầu từ đâu.
Rồi một ngày, tôi quyết định hệ thống tất cả – từ vectơ, tọa độ, góc, khoảng cách đến phương trình mặt phẳng, mặt cầu – tất cả những gì hình học 12 Chân Trời Sáng Tạo có, tôi gom lại thành một bản đồ duy nhất. Và chính nhờ “tấm bản đồ công thức” ấy, tôi đã vượt qua kỳ thi với điểm số mà chính mình cũng không ngờ tới.
Hôm nay, tôi chia sẻ lại toàn bộ công thức đó – tóm gọn, dễ hiểu, có ví dụ minh hoạ cụ thể – để bạn không phải đi qua những tháng ngày ôn tập lạc lối như tôi từng trải. Sẵn sàng chưa? Hành trình chinh phục hình học 12 Chân Trời Sáng Tạo bắt đầu từ đây…
Phần I. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ trong không gian
- Biểu diễn: $\vec{a} = (x; y; z)$
- Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
- Góc giữa hai vectơ: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
Ví dụ: Cho $\vec{a} = (1;2;3), \vec{b} = (4;-1;2)$. Tính:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot4 + 2\cdot(-1) + 3\cdot2 = 4 – 2 + 6 = 8$
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$,
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$
→ $\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}}$
2. Hệ trục tọa độ trong không gian
Điểm M(x, y, z)
Khoảng cách từ gốc đến M: $OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂): $AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$
Ví dụ: Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết $A(1;2;3), B(4;0;7)$
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$
3. Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ
Tổng: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$
Hiệu: $\vec{a} – \vec{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2; z_1 – z_2)$
Ví dụ: Cho $\vec{a} = (2; -1; 3), \vec{b} = (1; 4; -2)$.
Tính $\vec{a} – \vec{b} = (1; -5; 5)$
Phần II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
4. Phương trình mặt phẳng
Dạng tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$
Mặt phẳng (P) đi qua $M(x_0, y_0, z_0)$ và có pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ thì: $ A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0 $
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;3)$ và vuông góc với $\vec{n} = (2; -1; 4)$
$2(x – 1) -1(y – 2) + 4(z – 3) = 0 \Rightarrow 2x – y + 4z = 16$
5. Phương trình đường thẳng trong không gian
Dạng tham số: $ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} $
Trong đó:
- $(x_0, y_0, z_0)$ là điểm đi qua
- $(a; b; c)$ là vectơ chỉ phương
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2;1;-1)$
$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t \end{cases} $
6. Góc trong không gian
- Góc giữa hai đường thẳng: dùng tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $ \sin\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|} $
- Góc giữa hai mặt phẳng: dùng góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Ví dụ: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1;2;-1)$, mặt phẳng có pháp tuyến $\vec{n} = (2;1;2)$. Tính góc giữa chúng.
$\begin{array}{l} \sin \theta = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + ( – 1) \cdot 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }}\\ = \frac{{2 + 2 – 2}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 9 }}\\ = \frac{2}{{\sqrt {54} }} \end{array}$
7. Phương trình mặt cầu
- Dạng chuẩn: $ (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 $
- Tâm: $I(a; b; c)$, bán kính: $R$
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R = 5$
$(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 25$
✅ TỔNG KẾT
Học hình học không gian hiệu quả là hình dung – đặt tọa độ – tính toán đúng
Hãy luôn:
- Vẽ hình đơn giản để định hướng
- Ghi nhớ công thức và rèn kỹ năng tọa độ hóa
- Làm bài tập từ dễ đến khó, sau đó luyện đề thực tế